Exercicio 1
Acada unha base ortogonal do subespazo <(1; 0; 1); (0; 1;-1)>
Ben, son dous vectores liñalmente independentes en R3, logo forman unha base de R3. Esta base non é ortogonal xa que se multiplicamos escalarmente((1,0,1)+(0,1,-1))non é igual a 0. Ben, polo tanto o que temos que facer é unha abse ortogonal. Para iso necesitamos un v1' e un v2'. v1' é igual a v1, iso sempre pasa, pero v2' non. Así, v2'=v2+alfa*v1'. Temos que calcular alfa. Deste xeito , por Gram-Schmidth facemos -(v2'*v1')/(norma v1')**2. A norma de v1' é o mesmo que dicir o seu módulo, así, elevamos tódalas compoñentes ao cadrado, sumamos e logo facemos a raíz cadrada. Así, alfa1 danos 1/2 e v2' (1/2,1,-1/2).Deste xeito con v2' e v1' xa temos a base ortogonal que nos pedían.

Exercicio 2
Acada unha base ortonormal do subespazoW = <(1; 0; 1); (0; 1;-1)>e calcula a proxección sobre W do vector v = (1; 1; 1). Ben, o subespazo é o mesmo que o anterior. Así, para calcular unha base ortonormal divídese cada coordenada da base ortonormal entre a súa norma( as coordenadas de v1' entre a norma de v1' e as de v2' entre a norma de v2'). Así, o novo v1' é(1/ráiz2,0,-1/raíz2), se racionalizamos, quedaría (raíz2/2,0,raíz2/2) .
Logo calculamos anorma de v2 polo mesmo procedemento que no exercicio 1, dando raíz(6/4), que simplificado queda raíz6/2.Se dividimos  v2' entre a súa norma queda (1/raíz6,2/raíz6,-1/raíz6), se racionalizamos(raíz6/6,raíz6/3,-raíz6/6). Con este vector e o anterior xa temos a base ortonormal.
Logo pídennos a proxección de v sobre w. Así, para calcular a proxección, o que facemos é  alfa1*v1'+alfa2*v2'. Calculamos alfa coma antes, alfa1=v*v1'/(normav1')**2 e alfa2=(v*v2')/(normav2')**2. Hai unha diferencia neste grand-schmidt co anterior, neste non hai un signo negativo .







Exercicio 3
Acada unha base ortonormal do subespazoW = <(1; 0; 1; 0); (0; 1;-1; 0)>e calcula a proxección ortogonal sobreW do vector v = (1; 1; 1; 0)
e a distancia entre v e W.
Igual que o anterior. A única diferenza é que nos piden a distancia. Pois bn, a distancia calcúalse restando v-Pw, sendo Pw a proxección de v en w, e logo facendo a norma do que resulta. Así, o resultado é raíz(3/9)ou simplificado raíz 1/3.


Exercicio 4
Acada unha base ortonormal do subespazoW = <(1; 0; 1; 0); (0; 1;-1; 0); (0; 0; 1; 1)> e calcula a proxección ortogonal sobreW do vector v = (1; 1; 1; 0)
e a distancia entre v e W. Ben a única diferenza deste cos anteriores é que hai tre vectores. O procedemento é o mesmo. Isto é, v1'=v1, v2'=v2+alfa1*v1' e v3'=v3+alfa1*v1'+alfa2*v2'..


Exercicio 5
Calcula unha base ortonormal do subespazo de Rn:
<(1; 0; ....; 0); (1; 1; 0; ...; 0); (1; 1; 1; 0;.... ; 0); : : : ; (1; 1; ....; 1)>
Ben, aquí temos n vectores contidos en Rn liñalmente independentes. Así, a base que nos piden , que ten n vectores liñalmente independentes en Rn é C, a canónica.


Exercicio 6:
Calcula o espazo Wortogonal nos seguintes casos:
i)<(1,2,-1,3)>
Ben, o que temos que achar uns certos x,y,z,t que multiplicados polo vector nos den 0(para que sexan ortogonais tense qu dar esa condición). Deste xeito, igualamos a 0 a ecuación(x+2y-z+3t=0), daquí sacamos x=-2y+z-3t. Así, o noso subespazo será un que na coordenada x cumpra (2y+z-3t,y,z,t)/y,z,t pertencen a R  .